海涅定理（Heine 定理）
原创
云深之无迹
2025-05-28 10:27
深度剖析：测试电源与光伏储能背后的半导体奥秘 【8/5日研讨会】GaN实战-高密电源设计
海涅定理（Heine 定理）是实分析中连接函数极限与数列极限的重要桥梁。它的核心思想是：
函数在一点的极限存在，当且仅当所有以该点为极限的数列，函数值也趋于相同的极限。
海涅定理的正式表述（Heine 定理）设函数 在去心邻域 内有定义，则：
换句话说：
函数 在点 的极限等于 ，等价于： 对所有趋近于 的数列 ，函数值 的极限都趋于 。
因为无法直接用“点”来靠近极限，所以试图“用一个个数列逼近它”。
如果所有这样的逼近（不管从左、从右、快速逼近还是慢慢靠近）**最后都把函数值逼近同一个数 **，那就说 。
如果有一个数列靠近 ，但函数值却不趋近 ，那就否定函数在该点的极限为 。
用途一：数列检验函数极限的存在性用来判别极限是否存在： 只要你能找到两个趋于 的数列 和 ，使得：
就可以断定：
用途二：函数极限定义等价于数列极限好像就是算题了
证明 不存在设
设 ；
所以，由海涅定理，函数极限不存在。
本质函数极限 ⇄ 数列极限的等价性正向若函数极限存在，则所有趋近该点的数列对应函数值极限相同逆向若存在两个趋于该点的数列，函数值极限不同 ⇒ 函数极限不存在模拟了海涅定理的一个典型场景背景灰色曲线是函数 ，在 附近剧烈震荡，没有极限。
蓝色圆点是数列 对应的函数值，趋近于 0；红色圆点是数列 对应的函数值，趋近于 1。
由于这两个数列都趋近于 0，但函数值趋向不同 ⇒ 函数在 处极限不存在，正是海涅定理的逆否命题应用
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 函数定义：sin(1/x)def f(x): return np.sin(1 / x)# 构造两个数列趋近于 0n = np.arange(1, 200)x1 = 1 / (np.pi * n) # 数列1: 使 sin(1/x) → 0x2 = 1 / (np.pi * n + np.pi/2) # 数列2: 使 sin(1/x) → 1# 函数值y1 = f(x1)y2 = f(x2)# 画图plt.figure(figsize=(10, 6))# 显示原函数在小范围内的图像（用于参考）x_dense = np.linspace(0.01, 0.2, 1000)plt.plot(x_dense, f(x_dense), color='lightgray', label=r'$f(x) = \sin(1/x)$ 背景参考')# 绘制两个子数列的函数值点plt.plot(x1, y1, 'bo', label=r'$x_n = 1/(n\pi) \Rightarrow f(x_n) \to 0$')plt.plot(x2, y2, 'ro', label=r'$x_n = 1/(n\pi + \pi/2) \Rightarrow f(x_n) \to 1$')plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)plt.axhline(1, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)plt.xlabel('x (趋于 0)')plt.ylabel('f(x)')plt.title(r"数列趋近 $x \to 0$ 时 $\sin(1/x)$ 的不同极限行为（海涅定理演示）")plt.legend()plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()
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